hutame
01-12-2010, 01:51 AM
Bu yazımızda matematiğin belki de en heyecan verici ve popüler dizisinden yani Fibonacci sayılarından bahsedeceğiz. Aslında Fibonacci sayılarından bahsetmek bir yazıya sığmaz, yine de mümkün olduğunca kısa tutmaya çalışacağım.
Leonardo askerlik arkadaşım olmadığı için ve kendisini şahsen çok iyi tanımadığım için hakkındaki bilgileri değişik kaynaklardan derledim, bakalım kendisini sevecek misiniz?
Pisalı (hani şu eğik kulesi olan İtalya kentinden) bir tüccarın oğlu olan Leonardo Fibonacci, aritmetiği babasıyla birlikte gittiği Kuzey Afrika’ da öğrenmiş. Mısır, Suriye, Yunanistan ve Sicilya’ ya yaptığı yolculuklarda Arap dünyasının matematik bilgilerini özümsemiş ve Hint-Arap hesap yöntemlerinin (bugün kullandığımız yöntemler) üstünlüğüne inanmış. Pisa’ ya dönüşünde ünlü Liber abbaci kitabını yayımlamış (1202); burada Arap ve Yunan matematik bilimini Batı’ya yaymaya çalışırken sıfır (0) dahil Arap rakamlarını kullanıyormuş. Yine bu kitapta Fibonacci dizisi denen ve her terimin, önceki iki terimin toplamına eşit olduğu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…, dizisini ortaya atmış. Bundan başka iki yapıtı daha varmış, muş…
Fibonacci dizisinde ardışık iki sayının birbirine oranı, dizi sonsuza doğru gittikçe bize altın oranı verecektir. Bu sayı (√5+1)/2 ≈ 1,618’ e denk gelir. Boşuna bu sayıya altın oran denmemiş tabii ki. Doğada, insanın şekillendirdiği teknolojide ve daha birçok yerde karşımıza çıkar altın oran. Çiçeklerin yaprak sayılarında, insan kafasındaki düğüm noktalarında, piramitlerin tabanının yüksekliğine oranında (ki M.Ö. yapılmışlardır), Leonardo da Vinci tablolarında, Picasso tablolarında, elektrik devrelerinin veriminde, vs. Bu kadar örnek yeterlidir sanıyorum.
Şimdi gelelim asıl meseleye. Bu altın oran dediğimiz sayıyı nasıl buldular acaba? Öyle ya, birbiri ardına gelen tamsayılardan oluşan bu dizinin, sonsuza giderken, ardışık iki elemanının oranını irrasyonel bir sayı olarak hesaplamışlar.
Bu işte bir yanlışlık var diye düşündüm ben önce. Sonra dedim ki; eğri oturup doğru konuşalım. Madem burada matematik yapmaya çalışıyoruz. O zaman şu lise bilgilerimizi tekrar hatırlayalım. Çıkartalım kareli defterimizden 1 yaprak, 1 de arkası çiğnenmiş kurşun kalem, girişelim soruyu çözmeye.
Her türlü çözümün temelden anlatanını severim. Bu durumda Fibonacci sayılarının başından yani ilk elemanlarından başlayacağız demektir.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,666…
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615384…
34/21 = 1,6190476…
55/34 = 1,617647…
Bu bölümlerde dikkatimizi iki nokta çekiyor. Birincisi, bir kere bölüm 1,61…. sayısına yaklaşıyor. Sayı şimdilik belirsiz. İkincisi ise, bu sayıya yaklaşım şekli. Önce 1 ile başlıyoruz, daha sonra 2 ve bu aralığı hiç aşmıyoruz. Hatta bu 1,61…. sayısına bir sağdan bir soldan yaklaşıyoruz. Yani bölümlerden biri limitin solunda çıkarken, arkasından gelen limitin sağında çıkıyor ve bu böyle devam ediyor.
Özellikle bu nokta benim için önemli, çünkü liselerde ya da üniversite eğitiminde verilen limit konusunda öğrencilerin anlamakta güçlük çektiği bu nokta burada aydınlığa kavuşuyor. Limit denilen noktanın ya da değerin gerçekte oluşması, diğer bir ifadeyle o noktada bahsi geçen fonksiyonun tanımlı olması gerekmiyor. Eğer sağdan ve soldan aynı değere yaklaşıyorsak limit tanımlıdır ve sayı karşılığı bu değerdir. Bizim örneğimizde de limit var, çünkü bahsi geçen sayıya hem sağdan hem de soldan aynı değere yaklaşıyoruz.
Bu durumu bir çizim üzerinde göstermek en açıklayıcısı olacaktır sanıyorum. Aşağıda, bilgisayarda oluşturulmuş şekilde, yapılan bölme işlemlerinin sağdan ve soldan sırasıyla limite yaklaştığını görüyoruz.
Baştaki sorumuza geri dönersek, nedir bu irrasyonel ifade? Yukarıda bulduklarımızın ışığında şunu söyleyebiliriz. Biz eğer bu bölme işlemini sonsuza kadar sürdürürsek, yani limit durumuna ulaşırsak 1,618… şeklinde -baştan rasyonel ya da irrasyonel olup olmadığını bilmediğimiz- bir sayıyla karşılaşacağız. Ve sonsuzluk durumunda ardışık sayıların oranı hep limitte olacaktır. Yani aynı olacaktır!
1,1,2,3,5,8,………..,a,b,a+b…
Buradan
b / a = a+b / b ise
b² = a² + ab
b² - ab - a² = 0
∆ = a² – 4(-a²) = 5 a²
b = (a + a√5) / 2 ise
b/a = (1 + √5) / 2
“b” ve “a” sayıları sonsuzda iki ardışık Fibonacci sayısı olduklarına göre, irrasyonel olan altın oranı bulduğumuzu iddia edebiliriz. Yazıda kullandığım terimlerin ya da ifadelerin tamamının bilimsel olduğunu iddia etmiyorum. Bu yazının bir amacı da herkesin bilim diline ihtiyaç duymadan kendi problemlerine çözüm olabileceğini göstermek. Bol çözümlü günlerde görüşmek üzere.
SAYGILAR
Leonardo askerlik arkadaşım olmadığı için ve kendisini şahsen çok iyi tanımadığım için hakkındaki bilgileri değişik kaynaklardan derledim, bakalım kendisini sevecek misiniz?
Pisalı (hani şu eğik kulesi olan İtalya kentinden) bir tüccarın oğlu olan Leonardo Fibonacci, aritmetiği babasıyla birlikte gittiği Kuzey Afrika’ da öğrenmiş. Mısır, Suriye, Yunanistan ve Sicilya’ ya yaptığı yolculuklarda Arap dünyasının matematik bilgilerini özümsemiş ve Hint-Arap hesap yöntemlerinin (bugün kullandığımız yöntemler) üstünlüğüne inanmış. Pisa’ ya dönüşünde ünlü Liber abbaci kitabını yayımlamış (1202); burada Arap ve Yunan matematik bilimini Batı’ya yaymaya çalışırken sıfır (0) dahil Arap rakamlarını kullanıyormuş. Yine bu kitapta Fibonacci dizisi denen ve her terimin, önceki iki terimin toplamına eşit olduğu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…, dizisini ortaya atmış. Bundan başka iki yapıtı daha varmış, muş…
Fibonacci dizisinde ardışık iki sayının birbirine oranı, dizi sonsuza doğru gittikçe bize altın oranı verecektir. Bu sayı (√5+1)/2 ≈ 1,618’ e denk gelir. Boşuna bu sayıya altın oran denmemiş tabii ki. Doğada, insanın şekillendirdiği teknolojide ve daha birçok yerde karşımıza çıkar altın oran. Çiçeklerin yaprak sayılarında, insan kafasındaki düğüm noktalarında, piramitlerin tabanının yüksekliğine oranında (ki M.Ö. yapılmışlardır), Leonardo da Vinci tablolarında, Picasso tablolarında, elektrik devrelerinin veriminde, vs. Bu kadar örnek yeterlidir sanıyorum.
Şimdi gelelim asıl meseleye. Bu altın oran dediğimiz sayıyı nasıl buldular acaba? Öyle ya, birbiri ardına gelen tamsayılardan oluşan bu dizinin, sonsuza giderken, ardışık iki elemanının oranını irrasyonel bir sayı olarak hesaplamışlar.
Bu işte bir yanlışlık var diye düşündüm ben önce. Sonra dedim ki; eğri oturup doğru konuşalım. Madem burada matematik yapmaya çalışıyoruz. O zaman şu lise bilgilerimizi tekrar hatırlayalım. Çıkartalım kareli defterimizden 1 yaprak, 1 de arkası çiğnenmiş kurşun kalem, girişelim soruyu çözmeye.
Her türlü çözümün temelden anlatanını severim. Bu durumda Fibonacci sayılarının başından yani ilk elemanlarından başlayacağız demektir.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,666…
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615384…
34/21 = 1,6190476…
55/34 = 1,617647…
Bu bölümlerde dikkatimizi iki nokta çekiyor. Birincisi, bir kere bölüm 1,61…. sayısına yaklaşıyor. Sayı şimdilik belirsiz. İkincisi ise, bu sayıya yaklaşım şekli. Önce 1 ile başlıyoruz, daha sonra 2 ve bu aralığı hiç aşmıyoruz. Hatta bu 1,61…. sayısına bir sağdan bir soldan yaklaşıyoruz. Yani bölümlerden biri limitin solunda çıkarken, arkasından gelen limitin sağında çıkıyor ve bu böyle devam ediyor.
Özellikle bu nokta benim için önemli, çünkü liselerde ya da üniversite eğitiminde verilen limit konusunda öğrencilerin anlamakta güçlük çektiği bu nokta burada aydınlığa kavuşuyor. Limit denilen noktanın ya da değerin gerçekte oluşması, diğer bir ifadeyle o noktada bahsi geçen fonksiyonun tanımlı olması gerekmiyor. Eğer sağdan ve soldan aynı değere yaklaşıyorsak limit tanımlıdır ve sayı karşılığı bu değerdir. Bizim örneğimizde de limit var, çünkü bahsi geçen sayıya hem sağdan hem de soldan aynı değere yaklaşıyoruz.
Bu durumu bir çizim üzerinde göstermek en açıklayıcısı olacaktır sanıyorum. Aşağıda, bilgisayarda oluşturulmuş şekilde, yapılan bölme işlemlerinin sağdan ve soldan sırasıyla limite yaklaştığını görüyoruz.
Baştaki sorumuza geri dönersek, nedir bu irrasyonel ifade? Yukarıda bulduklarımızın ışığında şunu söyleyebiliriz. Biz eğer bu bölme işlemini sonsuza kadar sürdürürsek, yani limit durumuna ulaşırsak 1,618… şeklinde -baştan rasyonel ya da irrasyonel olup olmadığını bilmediğimiz- bir sayıyla karşılaşacağız. Ve sonsuzluk durumunda ardışık sayıların oranı hep limitte olacaktır. Yani aynı olacaktır!
1,1,2,3,5,8,………..,a,b,a+b…
Buradan
b / a = a+b / b ise
b² = a² + ab
b² - ab - a² = 0
∆ = a² – 4(-a²) = 5 a²
b = (a + a√5) / 2 ise
b/a = (1 + √5) / 2
“b” ve “a” sayıları sonsuzda iki ardışık Fibonacci sayısı olduklarına göre, irrasyonel olan altın oranı bulduğumuzu iddia edebiliriz. Yazıda kullandığım terimlerin ya da ifadelerin tamamının bilimsel olduğunu iddia etmiyorum. Bu yazının bir amacı da herkesin bilim diline ihtiyaç duymadan kendi problemlerine çözüm olabileceğini göstermek. Bol çözümlü günlerde görüşmek üzere.
SAYGILAR