DefineBurada.CoM - ANTÝK ÇAÐDA MATEMATÝK (roma rakamları lazım olur kardeslerım)

ARÝTMETÝK -

Grekler ve Aritmetik
Kaynaklar, aritmetik ile ilgili temel bilgilerin Grek dönemi Roma çaðý bilgini DÝOPHANTOS (325-400) ile baþladýðýný belirtir. Grekçe olarak da DÝOPHANTOS’un Aritmetika adlý eseri gösterilir.
Bilinen tarihi bir gerçek þudur;
Greklerde mevcut aritmetiðin temel bilgilerinin ilkel anlamda da olsa, Mezopotamya’da var olduðu anlaþýlmýþtýr. FÝSAGOR teoreminin, hem özel hem de genel ifade þekli Mezopotamya Babil çaðýndan zamanýmýza kadar intikal eden kil tabletlerde vardýr.
Tarihçi Ýskenderiyeli HERON (?-M.S. 80) Grek matematiðinde açýk bir Mezopotamya matematiðinin etkisinin bulunduðunu belirtir. Demek ki, DÝOPMANTOS’un aritmetiðinde açýk bir Mezopotamya etkisinin izleri vardýr.
Konunun diðer bir gerçek yüzü de þudur;
Grekler; SOCON (M.Ö. 640-585) döneminden itibaren Hýristiyanlýktan önceki yüzyýlýn ortalarýna kadar alfabelerinde mevcut rakamlarý ifade eden kelimelerin ilk harflerini rakam olarak kullandýlar.
Bu durum sonucu, bir çok birler, onlar ve yüzler meydana getirilmekte, dolayýsýyla da sayý yazýsý ile sayý dili arasýnda açýk bir boþluk meydana gelmektedir. Ancak Greklerde miladi 500 yýlýnda 24 harf ile Sami Meþeli 3 ek iþaret kullanan yeni bir sayý istemi ortaya koymuþtur.

Romalýlar ve Aritmetik
Romalýlar, baþlangýçta Eski Mýsýrlýlarýn yaptýklarý gibi deðiþik bazý harfleri tekrarlayarak rakam olarak kullanmýþlardýr.
Örnek: XXXXX = 50, MDCLXVI= 1000+500+100+50+10+5+1 = 1666
DLXIII = 500+50+10+1+1+1 = 563
Daha sonralarý da çýkarma iþleminden faydalanarak daha kýsa yazým yollarýný ortaya koydular.
Örnek: L = 50, XC = 100-10 = 90, IX = 10-1 = 9
Bu rakamlar ilk defa Romalýlar kullandýðý için aritmetikte Roma rakamlarý veya Romen rakamlarý olarak adlandýrýlýr.
Kaynaklar, Roma rakamlarýnýn bir elin parmaklarýndan esinlenerek ortaya konduðunu belirtir. Romalýlar bugün kullandýðýmýz 1, 2, 3, 4 rakamlarý yerine I. II. III. IV. Sembollerini ve 5’i belirtmek için de V sembolünü deðiþik þekilde iki defa kullanarak, X sembolünü elde ettiler (çaprazlanmýþ iki çizgi). Diðer rakamlarý da alfabelerindeki harflerden aldýlar.
Romalýlar sayýlarý belirtmek için alfabelerinden 7 harfi rakam rakam olarak kullanmýþlardýr (Bkz. Tablo-1).
Onluk sayma düzeninde
1
5
10
50
100
500
1000
Roma sayma düzeninde
I
V
X
L
C
D
M
Tablo-1. Roma sayma düzeninde rakamlar ve bunlara karþýlýk gelen onluk düzenindeki karþýlýklarý
Roma rakamlarýna dayalý Roma sayma düzenine göre toplama ve çýkarma iþleminin yayýlmasýnda bazý temel özellik ve sýnýrlamalar vardýr.
Bunlar, aþaðýdaki þekilde özetlenebilir.
a) Yan yana yazýlan ve ayný harfi gösteren iki ve üç rakam birbiriyle toplanarak toplama karþý gelen sayý elde edilir.
Örnek: III = I + I + I = 3, XX = 10 + 10 = 20
Uyarma: Bu harflerin yazýlýþlarý ile ilgili özellik: I, X, C, harfleri yan yana 3’den fazla V, C, D, M harfleri de 1’den fazla yazýlamaz.
b) Büyük deðer ifade eden harflerin saðýna yazýlan, küçük deðer ifade eden harfler toplanarak toplama karþý gelen sayý elde edilir.
Örnek: DCXI = 500 + 50 + 10 + 1 = 561, XV = 10 + 5 = 15
c) Küçük deðer ifade eden harflerin soluna büyük deðer ifade eden harfler yazýldýðýnda bu deðer çýkarýlarak sonuç elde edilir.
Örnek: VD = 505, XCIII = 43
Çýkarma iþleminde özellik ve sýnýrlamalar
a) V, C, D harfleri çýkarma amacý ile, kendinden büyük deðer belirten harflerin soluna yazýlmaz.
b) Bir sayý ancakdaki durumlarda çýkarýlabilir.
Örnek: I sadece V ve X’den çýkarýlabilir.
X sadece L ve C’den çýkarýlabilir.
C sadece D ve M’den çýkarýlabilir.
c) Küçük deðerli harfler, büyük deðerli harflerin soluna yazýldýðýnda büyük deðerden küçük deðer çýkarýlarak farký gösteren sayý elde edilir.
Örnek: IX = 10 – 1 = 9, XL = 50 – 10 = 40
d) Ýki büyük deðerli harf arasýna yazýlan küçük deðerli harf saðýndakinden çýkarýlarak sonuca denk gelen sayý elde edilir.
Örnek: CXL = 140, LIX = 59
Roma rakamlarý ile çarpma bölme iþlemleri yapmak mümkün deðildir.
Roma rakamlarýnýn diðer bir özelliði de þudur; binleri göstermek için harf veya harflerin üzerine bir yatay çizgi, milyonlarý göstermek için de ilgili harf veya harflerin üzerine iki yatay çizgi çizilerek ifade edilir.
Örnek: III = 3000, XXII = 22.000, C = 100.000
V = 5.000.000 VL = 40.000.000
Görülüyor ki;Roma sayma düzeni, sadece toplama ve çýkarma iþlemine dayanmaktadýr. Sýfýr ve basamak sistemi kavramý yoktur. Bu nedenle aritmetik iþlem yapmaya uygun deðildir. þöyle ki Roma’da forum meydanýndaki süslü hitabet kör süsünün Columna Restrata sütununda 2.200.000 sayýsýný belirtmek için 22 adet yüz bini gösteren harf oyulmuþtur.
Roma rakamlarý bu özellikleri dolayýsýyla; bugünkü matematik iþlemleri yapmak amacýyla kullanýlmamaktadýr. Ancak çok sýnýrlý olan bazý özel gösterimler için kullanýlmaktadýr.
CEBÝR
Grekler ve Cebir
Çoðu kaynaklarda Cebir denildiðinde Grek Dönemi Roma Çaðý matematikçisi DÝOPMANTOS’un (325-400) adýndan bahsedilir. DÝOPHANTOS’un Aritmetika adlý bir eseri mevcut olup, bu eserde sistematik olmamak üzere, münferit bazý cebir konularý ve ikinci derece denklemlerin çözümü vardýr.
Ancak DÝOPHANTOS dönemi Grek matematiði bazý harf ve sembolle ile ifade edildiðinde DÝOPHANTOS’un yukarda adýný belirttiðimiz eseri cebir iþaretleri ve sistemlerinin eksikliði yüzünden gerçek anlamda bir cebir kitabý olmaktan uzaktýr.
Müsteþriklerden Kurt VOGEL, Thureau DANGÝN ve GANDZ’ýn tespit etmiþ olduklarýna göre; DÝOPHANTOS’a görülen ikinci derece denklemlerin çözüm yöntemleri Mezopotamyalýlarýnkine benzemektedir.
Aydýn SAYILI’ya göre;
“Mezopotamyalýlarda görülen denklem çözme geleneklerinin DÝOPHANTOS’ta devam ettiði görülmektedir. Demek ki DÝOPHANTOS’taki þekliyle Grek cebiri Mezopotamya cebirinin hemen hemen doðrudan doðruya bir devamýný, ABDÜLHAMÝT ÝBN_Ý VÂSÝ TÜRK (? – 847) ile MÂREZMÝ cebri ise tadil edilmiþ bir þekilde devamýný teþkil etmektedir. ”
Aydýn Sayýlý adý geçen eserinde þu bilgileri de belirtmektedir.
“EVCLÝDES!’in Elemanlar adlý kitabýnda görülen, (a+b)2 + (a-b)2 = (a2 + b2) veya 2(a2 + b2) (a2 + b2) = (a – b)2 þeklindeki özdeþliðin cebirsel ifadelerin basitleþtirilmesi ve çözümlerin kolay tiplere irca edilmesi için, Mezopotamya matematikçileri tarafýndan kullanýlmýþtýr. ”

GEOMETRÝ
Grekler ve Geometri
Grek matematiðin en baþarýlý ürünü dedüktif geometridir.
Dedüktif geometri ile ilgili çalýþmalar THALES, FÝSAGOR, EFLATUN, ARÝSTO, EVCLÝDES ile baþlamýþtýr.
THALES’in geometri bilgileri kýsmen umumi ve teorik, kýsmen de sesgiye dayalý amprik bir mahiyet taþýmakta idi. THALES, ikizkenar üçgenin taban açýlarýnýn eþit olduðunu biliyordu. Ancak, üçgenin iç açýlarýnýn 180 derece olduðu þeklindeki bilgi THALES’e ait olmadýðý anlaþýlmýþtýr.
FÝSAGOR Krotonda (Güney Ýtalya) açtýðý okulda bir geometri bilgisi görülmektedir. Ancak kaynaklar DEMOKRÝT’in eski Mýsýr matematiðini yerinde incelendiðinde hem fikirdir. Dedüktif geometri EVCLÝDES ile doruk noktasýna ulaþmýþtýr. Evclides önce Elemanlar adlý kitabýnda kullandýðý geometrik 23 terimin tanýmýný yapmýþtýr. Bu terimler nokta, doðru, hacim... gibi. Evclides bunlarýn dýþýnda aþaðýdaki 5 aksiyonu þu þekilde ifade etmiþtir.
1. A = B, B = C  A = C
2. A = B  A + a = B + a
3. A = B  A – a = B – a
4. Bütün parçalarýndan büyüktür.
5. Ýki þey ayrý ayrý ayný þeyle çakýþýyorsa, bir biriyle de çakýþýrlar.
Evclides’in 5 postulatý þudur.
1. Ýki nokta arasýný birleþtiren en kýsa yol doðrudur.
2. Doðru doðru olma özelliðini kaybetmeden sonsuza kadar uzatabilir.
3. Bir noktaya eþit uzaklýkta bulunan noktalarýn geometrik yeri dairedir.
4. Bütün dik açýlar bir birine eþittir.
5. D1 ve D2 gibi iki doðru D3 gibi üçüncü bir doðru tarafýndan kesilirse, bu iki doðru içinde meydana gelen açýlarýn (A + B) toplamýnýn küçük olduðu tarafta kesiþirler.
Bunlar incelendiðinde EVCLÝDES’in açýklanmamýþ üç postulatý daha olduðu ortaya çýkar. Bunlar;
1. Hacim tanýmýndan anlaþýldýðýna göre uzay üçgen boyutludur.
2. Doðru sonsuza kadar uzatýlabilirse, uzay sonsuzdur.
3. Doðru doðru olma özelliðini kaybetmeden uzatýlabilirken uzay homojendir. (yani her yeri aynýdýr)
Evclides Elemanlar adlý kitabýnda ün yapmýþtýr. Bu eserdeki geometri bilgileri 2000 yýl kadar fazla bir deðiþikliðe uðratýlmadan geometri derslerinde okutulmuþtur. Bu eserin bazý kýsýmlarý günün ihtiyaçlarýna cevap vermek için 127. yüzyýlýn baþlarýndan madenleþtirilmiþtir. Bugünkü geometride bilinen bir çok özellik Elemanlar’da vardýr.
EVCLÝDES’e ait temel geometri bilgileri 19. yüzyýl baþlarýna kadar “Evclides dýþý geometriler”in kurulmasýna kadar önemini korumuþtur.
Batý ile ülkemizin matematikçilerinin alýþýk olduklarý geometri Evclides Geometrisi’dir. Bu konuda gerçek þudur.
Geometriye ait temel bilgileri ve metotlarýný bilimsel bir anlayýþ içinde sistemleþtiren Evclides’dir. EVCLÝDES bildiklerini Elemanlar adlý kitabýnda toplamýþtýr. Bu eser M. Ö. 300 yýllarýnda yazýlmýþtýr. Daha sonraki yýllarda bu eserdeki konularý esas alan geometriye Evclides Geometrisi denilmiþtir. Kaynaklar geometrinin önce Eski Mýsýr’da baþladýðýný Grek bilgilerinin geometriyi Eski Mýsýr’da öðrenmiþ olduklarýný belirtmektedir. Tarihçi MERODOT (M.S. 485-425) geometrinin Eski Mýsýr’da baþladýðýný ve arazi ölçüsü ihtiyacýndan doðmuþ olduðunu belirtir.
Bu durumda Grek bilginlerine atfedilen geometri bilgileri hakkýnda þu görüþü belirtebiliriz:
Yukarýda adlarýný belirttiðimiz Grek bilginleri Eski Mýsýr ve Mezopotamya bölgelerini uzun yýllar adým adým dolaþmýþlardýr. Buralarda kendileri için yeni olan geometri bilgilerini öðrenmiþlerdir. Daha sonrada geometriyi sistemleþtirip ispatlara dayanan bir matematik dalý haline getirilip geniþletmiþlerdir.

ANALÝTÝK GEOMETRÝ
Grek ve Analitik Geometri
a) Apalonyos ve Analitik Geometri
Matematik tarihinde analitik geometriye ait ilk eserin Grek bilgini APOLONYOS’un (M.Ö. 260-200) Konika (konikler) adlý kitabý örnek olarak gösterilebilir. Konuyu ayrýntý olarak inceleyen matematik tarihçileri analitik geometrinin APOLONYOS ile ilgisini þu þekilde açýklamýþlardýr:
“Apalonyos’un Konika adlý eserinde hiç cebir yoktur. Aslýnda Grek dünyasýnda da cebir formül kavramý mevcut deðildir.1”
b) Ýskenderiyeli Meron ve Analitik Geometri
Kaynaklar Ýskenderiyeli Meron’un (Miladi 100 yýllarý) Metrika (ölçü bilgisi) adlý eserinde atfen analitik geometriye ait iki ilginç örnek belirtir2. Bunlar:
Örnek-1: Yüksek bir tepe çevresinde A ve B noktalarý arasýnda tünel kazýlmak isteniyor. Bu örnekte, tünelin A ve B noktalarý istikametlerini koordinat deðerlerini nasýl bulacaðýný aþaðýdaki þekilde açýklanmýþtýr.
A ve B noktalarý bir poligan çizgisi ile birleþtirilsin. Þekildeki gibi bir n noktasýný elde edilsin. Bu poligan çizgisi yardýmýyla A ve B’nin bu poligan çizgisine paralel bir eksen sistemine izafe edilen koordinatlarýnýn farklarý bulunur. Bundan sonra, bir köþesi A ve B’de bulunan ve kenarlarý eksenlere paralel, kenarlarýnýn uzunluklarý da yukarýdaki koordinat farklarý ile orantýlý dik açýlý üçgenle çizilir. Bu üçgenlerin hipotenüslerinin uzantusu kazýlacak tünelin istikametini verir.
Örnek 2: Asdronomi gromlemlerini çözümünde kullanýlan grafik yöntemle dik açýlý uzay koordinatlarýný varlýðýný görülmektedir. Burada koordinat düzlemleri olarak meridyen dairesi ufuk dairesi ve düþey daire kullanýlmýþtýr. Bu tür astronomik gramlemlerinden enlem ve boylam farklarýný bilindiðine göre Roma ve Ýskenderiye þehirleri arasýndaki uzaklýk bulmuþtur.
Böylece miladi birinci yüzyýlda koordinat kavramý hem devrik hem de uygulamalý matematikle de var idi.

TRÝGONOMETRÝ
Grekler ve Trigonometri
Trigonometride “Herhangi bir üçgende dik kenarlarýn kareleri tamamý hipotenüsün karesine eþittir.” Þeklinde temel bir teorem vardýr. Bu teoremin adý Pisagor teoremi olarak bilinir. Gerçekte; bu teoremin varlýðý PÝSAGOR’dan ortalama 2000 yýl kadar önceleri Eski Mýsýr ve Mezopotamyalýlar Babil çaðýnda bilinmekte idi. Mezopotamyalýlar bu teoremin hem özel hem de genel þeklini biliyorlardý.

 SAYISI
Grekler ve  Sayýsý
 sayýsý için ilk gerçek deðerin Archimides tarafýndan kullanýlmýþtýr. Bu konunun gerçek yönü aþaðýdaki þekilde özetlenebilir.
Arechimides’in  sayýsýnýn deðerini hesaplamak için ortaya koyduðu yöntem kýsa þudur.
Birim çaðlý bir çemberin içine ve dýþýna çizilen sayýlarýn olan nn ve Pn kenarlý çokgenlerden ibarettir. Birim çemberin dýþýna çizilen nn kiriþle çokgeni  sayýsýnýn alt sýnýrýný dýþýna çizilen teðetler çokgeni üst sýnýrýný verir. ARCHÝMÝDES nn ve Pn dayanarak n2n, n4n ve P2n, P4n.. deðerlerini hesapladý. Böylece biri büyüyerek, diðeri küçülerek  deðerine yaklaþan iki seri elde etti. Altýgenlerden baþlayýp 96 kenarlý çokgenlere giden ARCHÝMÝDES  yaklaþýk deðeri için
3 + 10/11 ve 3 + 1/7 = 22/7 kesirlerini elde etti.
Bu iki kesrin ondalýk olarak karþýlýðý 3,142 ve 3,1408’dir. Bu iki deðerde hata payý 0,002’den küçüktür. Bu iki deðer n sayýsýnýn bugünkü bilinen gerçek deðerine çok yakýndýr.
ARCHÝMÝDES gençlik yýllarýnda Ýskenderiye’de uzun bir süre öðrenim görmüþtür. Bu öðrenim sýrasýnda Erotostenes ve Conon adlý iki arkadaþ edinir.
Erotostenes döneminin büyük matematikçisi, Conon da Archirmides’in saygýsýný kazanmýþ büyük ve istidatlý bir matematikçi olarak tanýnmaktadýr. Archimides’in fikir yapýsýnýn temelinde bu iki matematikçiye ait izlerin bulunduðunu belirtmek gerekir.
Ýskenderiye okulunun önde gelen matematikçisi EVCLÝDES’tir. Evclides’in de Eski Mýsýr ve Mezopotamya Babil yöresini uzun yýllar dolaþan bir matematikçi olduðu bilinmektedir. Archimides’in  ile ilgili hesaplama yöntemlerini ve  ait deðerleri Evetides’in öðrencilerinden öðrenmiþ olmasý gerçeði hiç de uzak bir ihtimal deðildir.
Archimides’ten sonra 18. yüzyýla kadar  sayýsýnýn gerek yaklaþýklýðýn&yacut e; artýrarak, gerek tam deðerini veren bir kesir bulmak amacýyla sayýsýz çalýþmalar yapýlmýþtýr.

ANTÝK ÇAÐDA MATEMATÝKÇÝLER
Thales (Ý.Ö. 640 – 548)
Milaslý Thales, Mýsýr Matematik okulunun ilk öðrencisidir. Ý.Ö. yaþayan yedi büyük bilginden en eskisi ve en ünlülerden birisidir. Hayatý hakkýnda kesin ve derin bilgiler yoktur. Mýsýr’da geometrinin temellerini öðrendiði sanýlýr. Bir daire içine üçgen çizilmesi gromlemini çözümlemiþtir. Ters açýlarýn eþitliðini doðruladýðý söylenir. Manisa yöresindeki mýknatýslarýn çekim özelliðini ilk görenlerden biridir.
Üçgenlerin özellikleri ve Thales baðýntýlarý Mýsýr’daki piramitlerin yüksekliðinin bulunmasýnda kullanmýþtýr. Bugün bile klasik geometride kedi adýyla anýlan bir çok teoremi vardýr. Bunlar özellikle 1. Thales ve 2. Thales baðýntýlarý olarak bilinir. Mýsýr’daki piramitlerin yüksekliði bu baðýntýlar yardýmýyla hesaplanmýþtýr.
Thales Ý.Ö. 585 yýlýnda 28 Mayýs günü güneþin tutulacaðýný haber vermiþtir. Geometri ve astronomi bilgisini bir yük olayýna uygulamasýný bilmiþtir. Thales’e göre dünya geniþ bir su üzerinde yüzen bir gemiye benziyordu. Depremler bu suyun hareketinden doðardý.
Thales evrenin üst tabakasýnýn hava, alt tabakasýnýn ise ateþ halindeki kordon oluþtuðu görüþünü ortaya atmýþtýr. Arada dünyayý kaplayan bir gökyüzü boþluðu yer alýyordu. Gökyüzünü “meteora” sözcüðüyle açýklýyordu.
Thales ve Pisagor’un o zaman sahip olduklarý matematik ilmine sistematik bir þekil veren Evclides olmuþtur. Bu sistemli bilgiler halen lise öðrencilerine öðretilir. 2600 yýldýr öðretilen bilgiler bundan böyle de öðretilmeye devam edilecektir.

Pytmoras (Pisagor, Pitagor) (Ý.Ö. 596-500)
Samsunlu Pisagor Ý.Ö. 596 yýllarýnda doðduðu tahmin ediliyor. Doðumu gibi ölüm tarihi de kesin deðildir. bugünkü adýyla bilinen Sisam Adasý’nda 596 veya 582 yýlýnda doðmuþtur. Önce doðduðu yerde okuduðu daha sonra da Mýsýr ve Babil’e giderek bilgilerini ilerlettiði ve ülkesine geri dönerek dersler verdiði söylenir. Kendisi bir Yunan filozofu ve matematikçisidir. Ülkesinde hüküm süren politik baskýlardan kaçarak Ýtalya’nýn güneyindeki Kroton þehrine gelmiþ ve ünlü okulunu burada açarak þöhrete kavuþmuþtur.
Bu okul dini bir topluluk ve o zamanýn politikasýna oldukça egemendir. Pisagor’un matematik, fizik, astronomi, felsefe ve müzikle getirmek istediði yenilikler, buluþlar ve ýþýklarý hazmedemeyen bir takým siyaset ve din yobazlarý halký Pisagor’a karþý ayaklandýrarak okulunu ateþe vermiþlerdir. Pisagor ve öðrencileri bu ateþ içerisinde Ý.Ö. 500 yýllarýnda ölmüþlerdir. Pisagor’un ve öðrencilerinin yaptýklarý bir çoðu bu alev içersinde yok olup gitmiþtir. Geometride aksiyomlar ve postulatlar her þeyden önce gelmelidir. Sonuçlar bu aksiyom ve postulatlardan yararlanarak elde edilmelidir. Düþüncesini ilk bulan ve ilk uygulayan matematikçisidir. Matematiðe aksiyomatik düþünceyi ve ispat fikrini getiren Pisagor’dur. Çarpma cetvelinin bulunuþu ve geometriye uygulanýþý yine Pisagor tarafýndan yapýldýðý söylenir. En önemli buluþlarýndan bir tanesi doðadaki her þeyin matematiksel olarak açýklanmasý ve yorumlanmasý düþüncesidir. Yaþayýþ ve inanýþý ilimle açýklama ve yorumlamayý o getirmiþtir.
Rasyonel sayýlarla ölçülemeyen uzunluðun keþfi 2600 yýl önce Yunan matematikçileri tarafýndan olmuþtur. Bu sonuç halen deðerini koruyan ve koruyacak olan ünlü Pisagor teoremine dayanýr. Pisagor teoremi matematikteki en büyük buluþlardan biridir. Pisagor’un adýný 2600 yýldýr andýran ve insanlýðýn varolduðu sürece de sonsuza kadar andýracak meþhur teoremi þudur. Bir dik üçgende dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarýnýn toplamý hipotenüs üzerine kurulan karelerin alanýna eþittir.

Pisagor teoremi rasyonel sayýlarla ölçülemeyen uzunluðun da var olduðunu gösterir.
Rasyonel sayýlarla ölçülemeyen uzunluklarýn bulunuþu ile ilgili bir efsane vardýr. Güya tanrýlar evrenin gizli sýrrýný açýklayan Pisagor’u yakarak cezalandýrmýþtýr.
“Evrenin hakimi sayýdýr. Sayýlar evreni yaratýyor” sözleri Pisagor’a aittir.
Pisagor buluþlarýndan bir tanesi de tekrar etmeyen sonsuz ondalýklý olan irrasyonel sayýdýr. Pisagor’un bu buluþu modern analizin kökünü keþfetmiþtir.
Bu gramlem bir ya da sýfýr ile iki sayýsý arasýna rasyonel sayýlarla kaplayabiliriz mi sorusunu doðurur. Yanýt hemen hayýr olacaktýr. Çünkü 0 < 2 < 2 olan 2 rasyonel deðildir.
Modern matematiðin temellerini Pisagor atmýþtýr.

Democritus (Ý.Ö. 470-360)
Abderalý Demokcritur Trakya’da bir Ýyonya kentinin bir kalinisinde doðmuþtur. Babasý çok zengin olan Democritus’un 100 yaþýndan fazla yaþadýðý sanýlmaktadýr. Matematik çalýþmalarý çok ileri düzeydeydi “Sayýlar”, “Geometri”, “Teðetler” ve “Ýrrasyoneller” belli baþlý eserlerdir.

Eflatun (Ý.Ö. 427-347)
Yunan filozofu Eflatun soylu bir aileden olup Sokrates öðrencisiydi. Kendisi matematikçi olmayýp, matematikçileri korudu.

Evdoxus (Ý.Ö. 408-355)
Knidos’da doðmuþtur. Zenu tarafýndan matematik düþünceye soktuðu þüphelerle çok uðraþmýþtýr. Evdoxus, alan, hacim ve bazý cisimlerin yüzölçümlerini bulmuþ ve bunlar hakkýnda bir çok teoremin ispatýný vermiþtir. Güneþ saatini bulan ve bir yýlýn 315 gün olduðunu ortaya koyan ilk bilim adamýdýr.
Evdoxus evrenin merkezi dünya ve dünyanýn hareketsiz olduðunu da ileri sürmüþtür.

Aristoteles (Ý.Ö. 384-322)
Aristo eski bir Yunan filozofu ve bilginidir. Makedonya’daki Yunan kolonilerinden Stegeira’da doðdu.
Kendisinin özel olarak matematik buluþlarý olmadýðý halde geliþtirdiði matematik sistemini çeþitli alanlara uyguladý. Ariston bu mantýk düþüncesi ile de matematik ilminin geliþmesinde önder oldu ve matematiksel mantýðýn doðmasýný saðladý.

Evclides (Ý.Ö. 365-300)
Öklit, Mýsýr’ýn Ýskenderiye þehrinde doðdu. “Temel Öðeler” adlý yapýtýyla son zamanlara dek geçerliliðini koruyan matematiðin temellerini atmýþtýr. Öklit kendin önce gelenlerin eserleriyle kendi öz yapýtlarýný da deleyerek bugün Öklit geometrisi adýyla bilinen geometriyi aksiyomlarýna dayandýrarak geliþtirmiþtir. Büyük Ýskender döneminden sonra Yunan ilminin yayýlmasýna ve bilime yeni bir bakýþ açýsý getirmesinde öncü olmuþtur.
Ýskenderiye’de Kral I. Batlamyus’un zamanýnda önemli bir matematik okulunu açmýþ ve burada matematik dersleri okutmuþtur. Kral I. Batlamyus okulu ziyaret etmiþtir ve okulda Öktin’in derslerini dinlemiþtir. Dersleri anlamamýþ ya da ona zor geldiði için Öklit’e matematiðin kolaylaþtýracak yöntemler bulmasýný emretmiþtir. Herkese boyun eðmeyen bu gerçek alim, tarihe geçen süsüyle “ilim için kral yolu yoktur” diyerek karþýlýk vermiþtir.
Öklit geometriyle ilgilendiði kadar sayýlar kavramý ile de ilgilenmiþtir. Thales ve Pisagor’un geniþ matematik kültürünü ve bu matematikçilerin oluþturduðu matematiðin özlerini çýkarýp sistemli bir hale getiren Öklit’tir. Mezopotamya ve Mýsýr’da öðrendiði geometriyi sistemleþtirip, ispatlý bir geometri haline getirmesinde oldukça ustalýk göstermiþtir. Bu da onun birinci sýnýf bir matematikçi olduðunu kanýtlar.
Öklit’in yaþam süreci ve öyküsü hakkýnda fazla bir bilgi yoktur. Bilinen tek þey bir matematik okulunu kurup burada kendi yazdýðý “Temel Öðeler” veya “Elemanlar” adlý kitabý okuttuðudur.
Eserinin baþýnda tanýmlar, genel kavramlar ve bir giriþ kýsmý yer alýr. Ondan sonra yüzyýllardýr süren ve kendi adýný verdiði bir dizi postulatlarý sýralar. Kitabý boyunca bu postulatlarý teoremlerinden kullanýr. Bu onun en becerikli yanýdýr. Eserin tümü on üç bölümdür. Bu bölümlere Ý.Ö. II. Yüzyýlda yaþadýðý sanýlan Ýskenderiyeli matematikçi Mypsikles’e ait olduðu bilinen ikinci ayrý bölüm daha eklenmiþtir.

Pappus (Ý.Ö. 340-?)
Ýskenderiyeli matematikçi olan Pappus dördüncü yüzyýlýn baþlarýnda Diocletianus zamanýnda yaþadýðý sanýlýr. Baþlýca ve temel olan eseri sekiz kitaplýk “Matematik Derlemesi”dir. Eski matematikçilerin çalýþmalarýnda karanlýk kalmýþ noktalarý aydýnlatmaya çalýþýr. Eskilerin yazdýðý veya bildiðini bize getiren en iyi ve en ünlü belge bu kitaptýr. Pappus eserinde ayrýca hormonik oran, involüsyonla ilgili önermeler ve kendi adýyla bilinen Pappus teoremini verdi. Kendi özgeçmiþi hakkýnda hiçbir bilgi býrakmadý.

Arcmimedes (Ý.Ö. 287-212)
Arcmimedes babasý astronom olan Fidiyas’ýn oðludur. Ý.Ö. 287 yýlýnda Sicilya Adasý’nda Siraküza þehrindedoðmuþtur. Archimedes’in Siraküza kralý II. Mieron’un akrabasý olduðu söylenir. Akrabasý olmasa bile kral onu her zaman korumuþtur. Matematikçilerin kralý olan Archimedes’in ve kralýn oðlu olan Gelon arasýnda çok yakýn ve sýký bir dostluk vardýr. Bu nedenle Archimedes parasal yönde hiçbir zorlukla karþýlaþmamýþ.
Archimedes daha sonra Mýsýr’ýn Ýskenderiye kentine gidip orada meþhur Öklit’in derslerine devam etmiþtir. Burada ilmi bilgilerini geliþtirdikten sorna ülkesinde ölünceye dek ülkesine ve ilme vererek araþtýrmalar yapmýþtýr.
Archimedes’e dünyadan gelip geçmiþ üç büyük matematikçiden bizi gözüyle bakýlýr. Bunlar sýrasýyla Archimedes, Newton ve Gavss’tur. Matematikte olduðu kadar mekanikte de gelip geçmiþ en büyük dahilerden birisi de Archimedes’tir. Ünlü matematikçinin sývýlar için bulduðu birinci kanunun çok ilginç bir öyküsü vardýr. Bu öykü; II. Mieron’a hediye edilen altýn bir taca kuyumcunun gümüþ karýþtýrdýðý söylenir. Hileyi sezen Meron Archimedes’ten taçta hile olup olmadýðýný incelemesini ister. Hamamda yýkanýrken suyun üzerinde yüzen taþa musluktan yavaþ yavaþ su akmaktaymýþ. Taþ suyla dolduðu anda hemen suya batmýþ bunu gören Archimede “Evreka, Evreka” buldum buldum diyerek hamamdan çýrýlçýplak Siraküza sokaklarýnda baðýrarak koþmuþtur. Archimedes’in buluþlarýndan bazýlarý kaldýraçlar, diþliler, diþli çarklar, daha bir çok basit makinelerdir.
Archimedes’in büyük matematikçiliði haksýz olarak verilmemiþtir. Dairenin alaný, çemberin uzunluðu, kürenin yüz ölçümü ve hacmini ilk kez Archimede hesaplamýþtýr.  sayýsýnýn hesabý yine ona aittir. Alan ve hacim hesaplamalarýnda bulduðu yöntemler yüzyýllar hep önde götürmüþtür. En karmaþýk eðrilerle sýnýrlý alanlarý ve yüzeylerle sýnýrlý hacimlerin bulunma yöntemini o getirmiþtir. Onun bu buluþlarý ve yöntemleri Newton’u interyal hesabýn keþfedilmesine ilhal vermiþtir.
Kurumsal ve uygulamalý matematiðe yaptýðý hizmetle çok büyüktür. Eðrisel düzlemsel þekillerin alanlarý eðrisel yüzeylerle sýnýrlanmýþ cisimlerin hacimlerini veren genel yöntemler keþfetmiþtir. Bu genel yöntemleri, daire, küre, heliksin ardýþýk iki yarýçapý ve iki halkasý arasýnda kalan alan, küresel parçalar, dikdörtgenlerin, üçgenlerin, probollerin, hiperbollerin ve elipslerin asal ekseni etrafýnda döndürülmesinde oluþan yüzeyleri ve hacimleri bulmada bulduðu bu yöntemi uygulamýþtýr. Silindir, koni aboloid, hiperboloid ve özel haller yine bu yöntemle yüz ölçüm ve hacim olarak hesaplanmýþtýr.
Archimedes’in dairenin çevresinin çapýna bölümü olan  sayýsýnýn bulunmasý hakkýnda bir yöntem vermiþ ve bu yöntemle  sayýsýnýn deðerinin 3 1/7 sayýsý ile 3 11/71 sayýsý arasýnda olduðunu göstermiþtir. Ayný zamanda karekökleri yaklaþýk olarak hesaplamak için yöntemler getirmiþtir. Bu da onun devirli sürekli kesirleri bulan Hintlere öncülük ettiðini gösterir.
Archimedes matematiði ilerletmek için mekanikteki bilgilerinden oldukça yararlanmýþtýr.
Matematik ve fizik araþtýrmalarý için düþünülmüþ en kuvvetli silah “sonsuz küçükler hesabý” yine Archimedes bulmuþtur.
Archimedes’in hayatý tüm olanaklarý yerine getiren bir matematikçinin hayatý kadar sakin ve düzenli geçmiþtir. Hayatýn en karýþýk zamaný ve acýklý olaný son günlerine rastlanýr. Bu da Romalýlarla Kardaçalýlar arasýnda Ý.Ö. 264-146 yýllarý arasýnda yapýlan Pön savaþlarý dönemine rastlanýr.
Archimedes’in yaþadýðý Sicilya Adasý’ndaki Süraküza þehri Romalýlar için çok çekici bir avdý. Romalý þef Marcellus Siraküza almaya geldiðinde Archimedes’iin ilmi karþýsýnda yenilip geri dönmüþtür ve Romalýlar kaleyi alamamýþlardýr. Kale duvarýný saldýrmakla þehri alamayacaðýný anlayan Marcellus Siraküza þehrine arkadan saldýrdý. Çýlgýn Siraküzlar içkiyle sarhoþ olmuþ Artemis’in þerefine bir dini bayram kutluyordu ve toplu bir kýyýmla kalktýlar. Deðiþik þekillerde Archimedes’in öldürüldüðü söylentiler vardýr. Her ne þekilde olursa olsun ilim ve insanlýðýn beklendiði medeniyet adýna bundan daha büyük bir vahþet ve canilik görülmemiþtir.
Archimedes matematik ve istatistiðin kurucusu olarak bilinir. Cisimlerin yüzmesi, hareket kanunlarý ve kaldýraç ilkelerinin ilk kurucusu, r = aQ eðrisi onun adýyla anýlan ünlü eðrisidir. Yine her a sayýsý için a<k olacak þekilde yine bir k tamsayýsý vardýr. Ýfadesi Archimedes’in postulatý olarak bilinir. Bu postulatý kullanarak her aralýðýn rasyonel ve irrasyonel sayýlarý içerdiðini söyleyebiliriz.

Eratustmenes (Ý.Ö. 284-192)
Ý.Ö. 284 yýlýnda Kuzey Afrika’da Kyrene’de doðdu. Matematikçi olarak iki buluþuyla tanýnýr. Bunlardan ilki asal sayýlarýn bulunmasýna yarayan ve kendi adýný taþýyan ünlü Erastusthenes eleði veya kalburudur ikincisi orta orantýlý gromlemin çözümü için tasarlandýðý bir hesap aletidir. Ý.Ö. 192 yýlýnda Ýskenderiye kentinde öldü.

Menelaus (Ý.Ö. I. Yüzyýl)
Ýskenderiyeli Yunan matematikçisi hayatý ve yaþam süreci hakkýnda hiçbir bilgi yoktur. “küre üstüne” adlý yapýtýnda küresel triyonometrinin temellerini incelerdi. Yine bir üçgenin kesenleriyle ilgili Menalaus teoremi vardýr.

Apollonius (Ý.Ö. 260?-200?-170?)
Eski devirlerin en büyük matematikçilerinden biri olan Apollonius Pamfiye denilen Teke sancaðýnýn Perya kentinde dünyaya gelmiþtir. Mýsýr’ýn Ýskenderiye kentine giderek Öklit’ten sonra gelen matematikçilerden ders aldý.
Çarpmaya ait bir çok buluþu vardýr. Tümü geometriye ait yedi sekiz kitabý vardýr. Koniklere ait buluþlarý onu zirveye çýkarmýþtýr. Konikle adlý altýnda bugün bildiðimiz elips, çember hiperbol ve grabol kesiþimlerine ait gramlemlerin bir çoðu Apollonius tarafýndan bulunmuþtur. Yine analetik geometrinin özelliklerinin hemen hemen tümünü Apollonius Orçluyuz Merminin yörünge denklemin bir parabol olacaðýný yine Apollonius bulmuþtur.
Hipparchus (Ý.Ö. 160-125)
Hipparchus Yunanlý matematikçi ve astronomdur. Ýlk sistematik astronomi ve triyonometriyi bulan kiþidir. Ekonoks noktalarýnýn deðiþimi olayýný bulmuþtur. Birden fazla yýldýz bir katalay yaparak Güneþ ve Ayýn uzaklýðýný hesaplamýþtýr. Enlem ve boylam daireleriyle dünyadaki herhangi bir noktanýn konumunu belirtme yöntemini bulmuþtur.